微分算子法把每一个符号，
还原成你会做的求导。

先分清这三个容易长得很像的符号

特别注意： 不是对 求导，也不是把 再作用一次。

“求逆”不唯一，为什么还能放心求特解？

例如 ， 与 都是解，因为 。它们不同，却给出同一个右端。

所以本讲义中 后面的等式，均理解为选取一个合法特解。积分常数可先取零；最后统一加上齐次通解。

线性算子与叠加原理的背景见 参考 1。以上等式已用普通求导直接展开，不需要预先学习抽象算子理论。

纯指数：求导不换函数，只改变倍数

当 时，把这个多出来的倍数除掉，就得到一个特解：

例如 ，则 ，所以对右端 ，可取 。这里不是全局地令 ，而是在利用 的求导规律。

一旦指数后面还乘着函数，就必须补上“对它求导”

设 。 表示指数因子之外的全部内容，可以是多项式，也可以是三角函数。

若 ，括号内恰好是 。因此：

分母为零，不是无解；是原来的试探形式被消掉了

对于 ，任何 都被 消成零。乘上 后，乘积求导多出一项：

若是 ， 经两次操作又归零，需要再提高一次：

一般地，若 是 重根，可取 。这个快捷公式只直接处理纯指数；不能把整个答案再机械地乘一个 。

指数响应与重根公式可与 参考 2 对照；指数搬移的背景见 参考 3，第 14 节。

先看最简单的反操作：1 / (1 − D)

若 是 次多项式，。注意下面是一个有限的代数恒等式：

把它作用到 上，最后一项归零。因此可取：

例如 ，右侧就是 。乘回 后，正好得到 。

不认识展开式时，直接比较系数，不必硬背级数

求 对二次多项式的作用，只需找 。让乘积的常数项为 1，一次、二次项为 0：

所以 。三次及以上的 作用到二次多项式上全部为零。

分母没有常数项：先提 D，最后积分

例如 。先用刚才的多项式结果，再积分：

先积分也能做，但多项式次数先升高，后面的展开更长，而且可能选到相差齐次解的特解。例如另一种顺序得到上式再加 10；常数 10 被原算子中的 消掉，故两者都合法。

一次求导会换函数；两次求导才回到原函数

所以对任何常数系数组合 ，二阶导数恰好是它的 倍。一次求导不能把余弦当成一个实数倍的余弦，但它不会跑出“同频正弦 + 同频余弦”这一组。

第一种：只有偶次导数，直接使用二阶导数规律

若分母写成 ，其中 是关于普通变量 的多项式，那么对纯正弦、纯余弦，只要 ，就有：

例：。注意 对应 ，不是 。

第二种：有奇次导数，就保留一次 D

把偶次项收在一起，把奇次项提出一个 。例如：

一般写成 。这里 收集偶次部分， 收集奇次部分除去一个 后的部分。对频率为 的纯三角函数，令：

那么在这组函数上， 的作用等价于 。这是作用效果的简化，不是关于所有函数的恒等式。

手把手：为什么右端是余弦，答案可以只有正弦？

求 的特解。频率 ，所以：

这个 作用在同频正弦、余弦上，表示“求一次导，再乘 4”。要制造 ，先积分：

检查：，，于是二阶项与零阶项抵消，只剩 。

同频正弦输入及其指数表示可与 参考 4 对照。这里的实数系数方程与算子配对均已逐项推导。

先把“失败”说准确：试探形式失败，不是方程无解

对 ，任何 都被左侧消成零。你在这个形式里调多少次系数，都制造不出右端。需要改变的不是系数，而是特解的形式。

前章的 正表示：整个同频正弦余弦组合被消掉了。在实常系数情形，这等价于 含因子 。

乘上 x 后，额外项从哪里来？

先不背特解。对任意可求两次导的 ，直接使用乘积求导：

原来的 与 确实抵消了；但对前面 求导产生的项不会一起消失。

取 ，，立刻得到：

“乘 ”只是说待定形式要扩展为 。具体哪一项留下来，要由系数决定。不是把原右端原封不动乘一个 。

共振因子外还有其他因子：先处理不共振的部分

例如 。先找 满足 ：

再解 ，对两项分别用刚才的共振公式：

检查逻辑是 ，再由 ，所以原方程成立。这样做不需要把不唯一的“逆算子”当成普通分数随意交换。

二重共振：一个 x 为什么还不够？

令 。，再作用一次 又归零，所以 仍是 的齐次解。

提高到 ，则：

因此可取：

正弦同理。注意：二重共振又回到原来的正弦／余弦类型，系数带负号。不能把一次共振的“换成另一种三角函数”无限照抄。更高重数用下一章的复指数公式更省力。

“趋近共振”不等于“某个固定位置的解变成无穷大”

看同一族初值问题，而不是把不同特解混在一起比较：

这里 是输入频率，齐次振动的频率固定为 1。不共振时：

其中 是为满足初始条件补上的齐次解。它与特解中发大的部分互相抵消。对固定 ，取 ：

无阻尼纯共振与非共振解的衔接见 参考 5；本页初值公式与极限已在上面单独推导。

先说明 i、实部与虚部到底是什么

为什么打包以后，一次求导也可以直接代参数？

逐个实函数求导，就能验证，不需要先会“复函数求导”：

所以 。单独的余弦求导会换成正弦；打包后的整体不换，只乘 。因此：

最后一步最容易错：先乘完整，再取实部或虚部

若计算得到 ，必须按乘法展开：